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高中数学《1 数学建模实例》微课精讲+知识点+教案课件+习题 2021-07-28 18:29:27
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知识点：
一、模型准备
先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备。由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的。
二、模型假设
有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设。明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善。
三、模型构成
在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构(如数学公式、定理、算法等)。做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则。
四、模型解析
在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
五、模型检验与应用
把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考。
视频教学：
练习：
1. 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍， 333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C 宿舍。学生们要组织一个 10 人的委员会， 试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1） 按比例分配取整数的名额后， 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2） 2.1 节中的 Q 值方法。
（3） d’Hondt 方法：将 A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除其商数如下表：
将所得商数从大到小取前 10 个（10 为席位数），在数字下标以横线，表中 A， B，C 行有横线的数分别为 2， 3， 5， 这就是 3 个宿舍分配的席位。 你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从 10 人增至 15 人， 用以上 3 种方法再分配名额。 将 3 种方法两次分配的结果
列表比较。
（4） 你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏 50g装的每支 1.50 元， 120g 装的 3.00 元， 二者单位重量的价格比是 1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1） 分析商品价格 C 与商品重量 w 的关系。价格由生产成本、 包装成本和其他成本等决定， 这些成本中有的与重量 w 成正比，有的与表面积成正比，还有与 w 无关的因素。
（2） 给出单位重量价格 c 与 w 的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着 w的增加 c 减少的程度变小。 解释实际意义是什么。
3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生， 打算按照放生的鱼的重量给予奖励， 俱乐部只准备了 一把软尺用于测量， 请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼， 并且得到 8 条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
所以基本上满意。
4. 用宽 w 的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠， 问布条与管道轴线的夹角 α 应多大（如图）。若知道管道长度， 需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘， 给出几种简便、 有效的排列方法， 使加工出尽可能多的圆盘。
课件：
教案：
【教学目标】
知道数学建模的概念与意义.
【教学重难点】
实际问题的数学建模.
【教学过程】
一、激趣导入
实际问题：普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城（现为俄罗斯的加里宁格勒）.普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图.
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.
二、新知探究
1．实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证.但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5000多种，并且这种方法不具有通用性.
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.
2．数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点.有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点.
一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
（1）图形是连在一起的，即是连通图形；
（2）图形中的奇点个数为0或2．
3．用数学结论解答原问题
在七桥问题中，四个点全是奇点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥.
1735年，欧拉把研究论文“The solution of a problem relating to the geometry of position”提交到圣彼得堡科学院，1741年发表在《圣彼得堡科学院通讯》上，开创了图论和拓扑学两门新的学科.
欧拉对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问题，又用数学的思想方法分析、解决了这个问题，这个过程就是数学建模.
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