语文数学英语物理化学生物史地政治道德与法治美术音乐科学全部课程 ↓知识点：　1．定义　　已知两个非零向量和，作，，则∠AOB=θ叫做向量与的夹角．　　　2．范围　　向量夹角θ的范围是0º≤θ≤180º，与同向时，夹角θ=0º；与反向时，夹角θ=180º.　　模的定义：向量的长度叫向量的模，记作.注:模长都是非负数.平面内两点间的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么(平面内两点间的距离公式).二、二级结论必备1.对两向量夹角的理解　(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．　(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.向量的模与平方的关系：乘法公式成立　　　　向量的夹角：　　　　当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0º，当且仅当与反方向时θ=180º，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.视频教学：练习：1.在△ABC中，若，，，则（　　）　A．　　B．　　C．　　D．　　【答案】B【解析】　　由向量的平行四边形法则，当时，　　∠A=90º，∠B=60º，∠C=30º，|BC|=2　　∴故选B．2.称为两个向量间距离，若满足　　①；　　②；　　③对任意实数t，恒有，则（　　）　A．　　　　B．　C．　　　　D．【答案】B.【解析】　　由得，即，由题意得该不等式对任意实数t都成立，　　∴，　　∴，　　∴以，　　故，故选B．3.已知平面向量的夹角为，，则______．【答案】.【解析】　　∵平面向量的夹角为，，　　∴　　，　　∴．4.已知向量设夹角为θ。则θ=______．【答案】.【解析】　　∵，　　∴，，　　∴，　　∴.5.已知，且，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】　　，　　∴，∴.课件：教案：【教学目标】1．利用数量积计算长度.2．利用数量积计算角度．【教学重难点】应用数量积计算长度与角度.【教学过程】一、旧知巩固1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（1）a·b＝x1x2＋y1y2；（2）a2＝x21＋y21，即|a|＝221；（3）设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2xoal(22xoal(222)；（4）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.二、合作探究1．向量长度的计算【例1】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小．[思路探究]  利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模．[解]  ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝10.【母题探究】将例1中的条件不变，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|.[解]  a·b＝1×0＋1×2＝2，∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，∴|c|＝10.【规律方法】求向量的模的两种基本策略（1）利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.（2）坐标表示的运算，若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，,于是有|a|＝x2＋y2.2．向量夹角的计算【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：（1）a与b的夹角为直角；（2）a与b的夹角为钝角；（3）a与b的夹角为锐角．[解]  a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.（1）因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.（2）因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，所以a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为as4alco1(－∞，－(12)).（3）因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，所以a·b＞0且a，b不同向．由a·b＞0，得λ＞－12，由a与b同向得λ＝2．所以λ的取值范围为as4alco1(－(12)，2)∪(2，＋∞)．【规律方法】1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：（1）先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；（2）再求出两向量的模；（3）由公式cos θ＝a·b|a||b|，计算cos θ的值；（4）在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.【跟踪训练】已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5.（1）求|a＋2b|；（2）若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．[解]  （1）a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝－32＋－62＝35.（2）∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝52.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a||c|＝525)×(5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a与c的夹角为23π.三、课堂总结向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．四、课堂练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(    )（2）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|→|＝x2－x12＋y2－y12.(    )（3）两向量a与b的夹角公式cos θ＝x1x2＋y1y2xoal(22xoal(222)的使用范围是a≠0且b≠0.(    )[答案]  （1）×  （2）√  （3）√2．已知a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，那么a，b的夹角θ＝(    )A．30°        B．60°        C．120°        D．150°D  [cos θ＝3)－(3) 2×2＝－3)2，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(    )A．1        B．2C．2      D．4C  [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±3.∴|a|＝12＋n2＝2．]图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删点击阅读原文下载全册PPT课件动画教案习题整套资料